Soutenance de thèse de ZOTSA NGOUFACK Arsene Brice

Résumé de la thèse

Cette thèse est divisée en deux parties. Dans la première nous étudions des modèles probabilistes d'épidémies avec perte progressive d'immunité. Plus précisément nous étudions un modèle stochastique d'épidémie individu-centré dans lequel un individu infecté redevient progressivement susceptible après guérison et peut à nouveau être infecté avec une probabilité égale à sa susceptibilité courante. Contrairement aux modèles existants qui supposent qu'après rétablissement l'individu redevient immédiatement susceptible, nous supposons que l'individu redevient progressivement susceptible et qu'elle est décrite par une fonction aléatoire. Pour se faire nous avons étudié deux modèles.
Pour le premier modèle nous avons établi le comportement limite en grande population, puis nous avons étudié le comportement en temps long. Il s'agit notamment des différents équilibres possibles et enfin nous avons étudié les fluctuations du modèle autour du modèle déterministe obtenu par la loi des grands nombres. La limite en grande population est décrite par un système déterministe d'équations intégrales de type Volterra modélisant la force moyenne d'infection et la susceptibilité moyenne de la population et généralisant le modèle edp de Kermack et McKendrick. De plus, nous avons démontré que le seuil d'endémicité dépend de la susceptibilité des individus et que lorsque le nombre de reproduction de base est au dessous de ce seuil nous avons un équilibre sans maladie asymptotiquement globalement stable et dans le cas contraire il est instable. Nous avons également pu montrer l'existence d'un équilibre endémique lorsque le nombre de reproduction de base est au dessus de ce seuil. Enfin le théorème de la limite centrale est décrite par un système stochastique d'équations intégrales de types volterra de bruit un vecteur gaussien.
Pour le second modèle, nous étendons le premier modèle en faisant dépendre à chaque réinfection les valeurs de l'infectivité et de la susceptibilité des individus de celles précédents leur réinfection. Pour cela nous utilisons une approche paramétrique en modélisant par un processus de Markov l'évolution des paramètres et l'âge d'infection des individus au fil du temps. Nous supposons qu'entre deux instants d'infections les traits des individus restent constants et que l'âge d'infection repasse à zéro à chaque nouvelle infection. De plus nous supposons aussi que le nouveau trait est tiré suivant une loi de probabilité décrite par un noyau de transition. Puis nous montrons que la mesure empirique du couple trait et âge converge en limite grande population vers une mesure de probabilité dont la formulation faible est décrite par une edp de transport non-linéaire. Par la suite nous démontrons que cet edp admette une solution stationnaire non nulle, donc l'existence d'un équilibre endémique. Nous obtenons un seuil d'endémicité très générales que nous calculons dans certains cas et enfin nous démontrons la stabilité locale de notre modèle dans le cas du modèle SIS et SIRS non-markoviens sans perte d'immunité avec la loi de la durée d'exposition et de rémission exponentielles.
Dans la seconde partie nous étudions les inégalités à poids dans des espaces de Lebesgue à exposant variable pour le projecteur de Bergman. Plus précisément, nous étendons la théorie des poids de Békollè-Bonami $B_p$ en remplaçant la constante $p$ par une fonction mesurable positive $p(cdot)$ et nous supposons qu'elle est log-Hölder continue et minorée par $1$. Puis nous montrons que le projecteur de Bergman dans la boule unité de $mathbb C^n$ est borné sur un espace de Lebesgue à poids à exposant variable $L^{p(cdot)}(w)$ si et seulement si $w$ appartient à la classe généralisée de poids de Békollè-Bonami $ B_{p(cdot)}$. Pour ce faire nous définissons une fonction maximale et nous montrons qu'elle est bornée sur $L^{p(cdot)}(w)$ si $win B_{p(cdot)}.$ Puis nous prouvons un théorème d'extrapolation à poids qui nous permet de conclure.