Soutenance de thèse de KHALED ZAHRAA
Titre de thèse
Surfaces non-kähleriennes à b2=0. Structures Réelles et problèmes de classification
Non-Kähler surfaces with b2=0. Real structures and classification problems.
Résumé de la thèse
Le premier chapitre de cette thèse est dédié aux surfaces de Hopf primaires Réelles, i.e. aux surfaces de Hopf primaires $H$ munies d'une involution anti-holomorphe $s$. Nous allons donner les classifications à biholomorphisme equivariant et à difféomorphisme equivariant près de ces surfaces. Nous allons aussi décrire quelques objets géométriques naturellement associés à une surface de Hopf primaire Réelle $(H,s)$:
begin{enumerate}
item Le groupe $Aut(H,s)$ des automorphismes holomorphes qui préservent la structure Réelle.
item Le lieu réel $H^s$.
item L'espace quotient $H/langle srangle$ .
item Le groupe de Picard des fibrés holomorphes en droites Réels d'une telle surface.
end{enumerate}
Le deuxième chapitre de la thèse porte sur la classification des surfaces d'Inoue à biholomorphisme près. Nous allons d'abord démontrer que le fibré tangent de toute surface d'Inoue admet une unique connexion holomorphe. En s'appuyant sur ce résultat, nous montrons que deux surfaces d'Inoue $S=Htimes C/G$, $S'=Htimes C/G'$ sont biholomorphes si et seulement si les groupes $G$, $G'$ utilisés dans leur construction sont conjugués dans le groupe $Aff(HtimesC)$ des transformations affines de la sous-variété ouverte $HtimesCsubsetC^2$. Ainsi le problème de classification des surfaces d'Inoue est réduit à un problème purement algébrique.
Pour les surfaces d'Inoue de type I et III nous obtenons une description explicite de l'ensemble des classes de biholomorphisme; pour les surfaces d'Inoue de type II nous obtenons une description explicite de l'ensemble des classes de déformation et nous montrons que l'espace des classes de biholomorphisme qui correspondent à une classe de déformation fixée s'identifie soit à $C^*$, soit à $C$.
Notre résultat de classification montre en particulier qu'aucune surface Inoue $S$ du premier type n'est biholomorphe à sa conjuguée $bar S$, donc aucune telle surface n'admet des structures Réelles.
Thesis resume
The first chapter of this thesis is dedicated to the Real primary Hopf surfaces, i.e. to primary Hopf surfaces $H$ endowed with an anti-holomorphic involution $s$. We will obtain the classifications of these surfaces up to (equivariant) biholomorphisms and up to (equivariant) diffeomorphisms. We will also give explicit descriptions of several geometric objects which are naturally associated with a Real primary Hopf surface $(H,s)$:
begin{enumerate}
item The group $Aut(H,s)$ of holomorphic automorphisms which preserve the Real structure.
item The real locus $H^s$.
item The quotient space $H/langle srangle$ .
item The Picard group of isomorphism classes or Real line bundles on such a surface.
end{enumerate}
The second chapter of the thesis focuses on the classification of Inoue surfaces up to biholomorphisme. We will first prove that the tangent bundle of any Inoue surface admits a unique holomorphic connection. Using this result, we show that two Inoue surfaces $S=Htimes C/G$, $S'=Htimes C/G'$ are biholomorphic if and only if the groups $G$, $G'$ used in their constructions are conjugate in the group $Aff(HtimesC)$ of affine transformations of the open submanifold $HtimesCsubsetC^2$. Therefore the classification problem for Inoue surfaces is reduced to a purely algebraic problem.
For type I and type III surfaces we obtain an explicit description of the set of isomorphism classes, whereas for type II Inoue surfaces we obtain an explicit description of the set of deformation classes and we show that space of biholomorphism classes corresponding to a fixed deformation class can be identified to either $C^*$ or $C$.
Our classification result shows in particular that no type I Inoue surface $S$ is biholomorphic to its conjugate surface $bar S$. In particular no type I Inoue surface admits Real structures.