Ecole Doctorale

Mathématiques et Informatique de Marseille

Spécialité

Mathématiques

Etablissement

Aix-Marseille Université

Mots Clés

l'obstruction locale d'Euler,le nombre de Brasselet,les points critiques de Morse stratifiés,invariants topologiques locaux,

Keywords

Euler obstruction,Brasselet number,stratified Morse critical points,local topological invariants,

Titre de thèse

L'obstruction d'Euler et ses généralisations
Euler obstruction and generalizations

Date

Tuesday 10 December 2019 à 10:00

Adresse

Avenue Trabalhador São Carlense, 400. Centre ville, São Carlos, São Paulo, Brésil. CEP: 13566-590 à choisir

Jury

Directeur de these M. DAVID TROTMAN Institut de Mathématiques de Marseille
Examinateur M. Nicolas DUTERTRE LABORATOIRE ANGEVIN DE RECHERCHE EN MATHÉMATIQUES
Examinateur M. Nivaldo GRULHA JÚNIOR Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação
Examinateur Mme Miriam PEREIRA Departamento de Matemática da Universidade Federal da Paraíba

Résumé de la thèse

Soient $f, g : (X, 0)rightarrow (mathbb{C}, 0)$ des germes de fonctions analytiques définies sur un espace analytique complexe $X$. Le nombre de Brasselet d'une fonction $f$ décrit numeriquement la topologie de sa fibre de Milnor généralisée. Dans cette thèse, nous présentons des formules afin de mettre en relation les nombres de Brasselet de $f$ sur $X$ et de la restriction de $f$ sur $X cap {g = 0}$, dans le cas où $g$ a un emsemble critique stratifié avec dimension un et $f$ a un emsemble critique arbitraire. Si, en plus, $f$ a une singularité isolée à l'origine, nous calculons le nombre de Brasselet de $g$ sur $X$ et nous le mettons en relation avec le nombre de Brasselet de $f$ dans $X$. Comme une conséquence, nous obtenons des formules qui calcule l'obstruction locale d'Euler de $X$ et de $Xcap{g=0}$ à l'origine e qui donne des relations entre ces nombres et des invariants locaux associés à $f$ et à $g.$ Nous etudions aussi la topologie locale d'une défomation de $g, tilde{g}=g+f^N,$ où $Ngg1$ est un entier naturel. Nous présentons une relation entre le nombre de Brasselet de $g$ et $tilde{g}$ sur $Xcap{f=0}$, dans le cas où $f$ a une singularité isolée à l'origine. Nous présentons aussi une nouvelle preuve de la formule de Lê-Iomdine pour le nombre Brasselet.

Thesis resume

Let $f, g : (X, 0)rightarrow (mathbb{C}, 0)$ be germs of analytic functions defined over a complex analytic space $X$. The Brasselet number of a function $f$ describes numerically the topology of its generalized Milnor fibre. In this thesis, we present formulas to compare the Brasselet numbers of $f$ in $X$ and of the restriction of $f$ to $X cap {g = 0}$, in the case where $g$ has a one-dimensional stratified critical set and $f$ has an arbitrary critical set. If, additionally, $f$ has isolated singularity at the origin, we compute the Brasselet number of $g$ in $X$ and compare it with the Brasselet number of $f$ in $X$. As a consequence, we obtain formulas to compute the local Euler obstruction of $X$ and of $Xcap{g=0}$ at the origin, comparing these numbers with local invariants associated to $f$ and $g.$ We also study the local topology of a deformation of $g, tilde{g}=g+f^N,$ for a positive integer number $Ngg1.$ We provide a relation between the Brasselet number of $g$ and $tilde{g}$ in $Xcap{f=0}$, in the case where $f$ has isolated singularity at the origin. We also provide a new proof for the Lê-Iomdine formula for the Brasselet number.