Soutenance de thèse de GUEMARD Virgile
Titre de thèse
Lifts de codes quantiques CSS
Constructions au-delà des codes produits
Lifts of Quantum CSS codes
New Constructions Beyond Product Codes
Résumé de la thèse
Dans la théorie des codes linéaires, le lift de codes est une méthode naturelle et efficace permettant de générer des familles de codes à partir d'un code de petite longueur. Cette stratégie a fait ses preuves pour produire des codes LDPC de longueurs variées, atteignant de bons paramètres asymptotiques ainsi que la capacité de certains canaux d'erreurs. Le lift a récemment été utilisé pour concevoir les codes linéaires de la technologie 5G.
Il est largement admis qu'un ordinateur quantique intégrera un schéma de correction d'erreurs quantiques, et les trois dernières décennies ont vu l'émergence d'une grande variété de codes correcteurs quantiques basés sur les codes classiques, connus sous le nom de codes CSS. Il est naturel de se demander si ces codes CSS peuvent être liftés, et si le lift apporte autant de bénéfices dans le cas quantique que dans le cas classique. Cependant, la méthode classique de lift ne peut pas être directement utilisée dans le cas quantique, car les codes linéaires constituant un code quantique perdent généralement leur orthogonalité. Cette thèse présente trois nouveaux résultats portant sur les lifts de codes CSS quantiques.
Premièrement, nous proposons une notion générale de lift pour les codes CSS. Celle-ci repose sur la découverte d'un complexe canoniquement associé à tout code CSS, appelé complexe conique de Tanner, à partir duquel nous pouvons générer des revêtements topologiques. Nous montrons que cette notion généralise le lift classique et permet de reproduire des familles de codes CSS paradigmatiques. Notre application principale du lift est la construction de nouveaux types de codes CSS. Jusqu'à maintenant, la plupart des constructions reposent sur la topologie ou sur une forme de produit de complexes de chaînes. Ici, nous proposons de nouvelles constructions au-delà de ces méthodes et nous leur appliquons notre technique de lift, faisant ainsi croître leurs paramètres.
Ensuite, nous introduisons de nouvelles familles de codes de Tanner quantiques, une classe de codes définie par Leverrier et Zémor. Nous construisons ces codes en généralisant le lift de codes de Tanner classiques, basé sur les revêtements de graphes, au cas quantique, basé sur les revêtements de complexes géométriques deux-dimensionnels. Nous présentons plusieurs familles explicites, et nous en identifions des instances de longueur modérée, ayant des équations de parité de faible poids, et dont la distance excède la racine carrée de leur longueur.
Enfin, nous présentons une approche topologique pour lifter les codes CSS. Notre première définition du lift était originellement inspirée du travail de Freedman et Hastings, dans lequel ils associent un corps en anse à tout code CSS. Cette thèse est l'occasion d'expliquer comment ce corps en anse peut servir à lifter son code associé. Nous montrons en détail que cette méthode est essentiellement équivalente à notre première définition du lift.
Thesis resume
In classical coding theory, the lift of a code is a practical and natural method for generating families of LDPC codes from a single chosen input code. This strategy has proven to be very successful in producing LDPC codes of various blocklengths, reaching good parameters and approaching the capacity of certain channels in the asymptotic regime. It is also now applied in the 5G New Radio.
It is widely believed that a quantum computer will integrate a quantum error correcting scheme, and the last three decades have seen the emergence of a variety of code-based quantum error correction known as CSS codes. It is natural to ask whether we can perform lifts of quantum codes, with the hope of having the same benefits as for classical codes. However, the method to lift linear codes cannot be directly applied to quantum CSS codes, as the constituent linear codes usually lose their orthogonality. This dissertation presents three new results on lifts of quantum CSS codes.
Firstly, we propose a general notion of lift for quantum CSS codes. It is based on the existence of a canonical complex associated to any CSS code, that we call the Tanner cone-complex, and over which we generate covering spaces. We show that our notion generalizes classical code lifting and generate important CSS code families. Our main application of the lift is to devise new types of quantum CSS codes. So far, most seriously considered constructions rely on topology or some kind of product operations. Here, we intend to explore beyond these paradigmatic ideas and for that we construct new non-topological and non-product CSS codes. We then apply the prescription to generate their lifts and show that this procedure can improve their relative parameters, reaching parameter regions not explored prior to this work.
Secondly, we introduce new families of quantum Tanner codes, a class of quantum codes which first appeared in the work of Leverrier and Zémor. We build these codes by generalizing the lift of classical Tanner codes, based on graph coverings, to the case of CSS codes, based on coverings of 2D geometrical complexes. We present several explicit families, and identify instances of moderate length quantum codes which are degenerate, have low check weight, and for which the distance is greater than the square root of the code length.
Lastly, we present a topological approach to lifting a quantum CSS code. Our original definition of CSS code lifting was inspired by the work of Freedman and Hastings, which associates CSS codes with handlebodies. This thesis is a good opportunity to show how the handlebody realization of a code can also be used to perform code lifting. We provide a detailed discussion of why in many cases this is essentially equivalent to our previous approach.