Ecole Doctorale
Mathématiques et Informatique de Marseille
Spécialité
Informatique
Etablissement
Aix-Marseille Université
Mots Clés
Quantales de Frobenius,Logique linéaire,Catégories étoiles-autonomes,Treillis,
Keywords
Frobenius quantales,Linear logic,Star-autonomous categories,Lattices,
Titre de thèse
Variations catégorielles sur les quantales de Frobenius
Categorical variations on Frobenius quantales
Date
Lundi 4 Novembre 2024 à 14:00
Adresse
3 Pl. Victor Hugo, 13331 Marseille
Frumam 2ème étage Salle de séminaire
Jury
Directeur de these |
M. LUIGI SANTOCANALE |
Aix Marseille Université |
CoDirecteur de these |
M. Charles GRELLOIS |
University of Sheffield |
Rapporteur |
M. Isar STUBBE |
Université du Littoral-Côte d'Opale |
Rapporteur |
Mme Valeria DE PAIVA |
Topos Institute |
Président |
M. Thomas EHRHARD |
Université Paris Cité |
Examinateur |
M. Pierre CLAIRAMBAULT |
Aix-Marseille Université |
Examinateur |
M. Tom HIRSCHOWITZ |
Université Savoie Mont Blanc |
Résumé de la thèse
L'objectif premier de cette thèse est d'étudier d'un point de vue catégorique le théorème suivant : un treillis est complètement distributif si et seulement si le quantale des endomorphismes de ce treillis est un quantale de Frobenius.
Nous avons ainsi rencontré une définition des quantales de Frobenius qui, contrairement à la définition usuelle, n'implique pas d'unité. La première contribution de cette thèse est une étude des quantales de Frobenius sans unité. Nous généralisons la théorie des nuclei à ces quantales permettant ainsi d'obtenir des "négations classiques" à partir de "négations intuitionnistes". Grâce à cette théorie nous donnons un théorème de représentation de ces quantales en terme de quantales de phase, c'est-à-dire comme quotient du quantale libre sur un semi-groupe. Nous fournissons des exemples de quantales de Frobenius sans unité dont le quantale des endomorphismes serrés sur un treillis complet L. Ce quantale est toujours un quantale de Frobenius et nous montrons qu'il possède une unité si et seulement si le treillis L est complètement distributif.
La seconde partie répond directement à notre premier objectif. Nous donnons une définition des structures de Frobenius dans une catégorie monoïdale symétrique quelconque en suivant de très près la définition des quantales de Frobenius sans unité. Pour ce faire, nous introduisons les paires duales qui généralisent le dual d'un objet. Cette notion permet notamment d'étudier le dual d'un objet à isomorphisme près. Nous montrons précisément comment, et à quelles conditions il est possible de transiter entre les structures de Frobenius, telles que nous les avons définies, et les différentes définitions d'algèbre de Frobenius bien établies dans la littérature. Surtout, nous démontrons que, dans une catégorie étoile-autonome, le monoïde des endomorphismes d'un objet nucléaire peut toujours être doté d'une structure de Frobenius. Nous montrons aussi que, sous certaines conditions, une "négation intuitionniste" induit une structure de Frobenius sur son image. De plus, nous exposons une condition suffisante pour que, si l'objet des endomorphismes est une structure de Frobenius, alors cet objet est nucléaire. Nous appelons pseudo-affines les catégories qui vérifient cette condition. Afin d'explorer cette condition nous construisons une catégorie étoile-autonome qui n'est pas pseudoaffine.
Le troisième et dernier moment de cette thèse étudie et généralise la construction de Shalk et de Paiva. Nous nous demandons à quelles conditions la structure monoïdale, monoïdale fermée ou étoile-autonome d'une catégorie C peut être élevée à la catégorie totale d'un foncteur de domaine C et de codomaine Pos, la catégorie des ensembles partiellement ordonnés. Pour ce faire, nous fournissons une bijection entre les élévations de functeurs et certaines transformations lax-naturelles. Nous donnons aussi les conditions exactes pour que les adjunctions soient elles aussi élevées. Notamment lorsque le foncteur Q est monoïdal et se factorise de façon monoïdale via SLatt, la catégorie des sup-treillis complets, la catégorie totale sur Q est monoïdale fermée si et seulement si la catégorie de base C l'est. Nous fournissons ensuite une caractérisation précise pour que la catégorie totale soit étoile-autonome. Finalement nous développons une théorie des nuclei pour les functeurs monoïdaux dont le codomaine est SLatt, analogue à celle des quantales. Cette théorie nous permet de constuire un functeur dont la catégorie totale est étoile-autonome à partir d'un foncteur monoïdal de codomaine Slatt quelconque. Tout comme pour les quantales de Frobenius, cette théorie des nuclei nous permet d'obtenir un théorème de représentation des foncteurs dont la catégorie totale est étoile autonome. Nous terminons cette thèse en montrant que ces foncteurs sont exactement les structures de Frobenius dans la catégorie étoile-autonome des foncteurs dont le domaine est étoile-autonome et le codomaine est SLatt.
Thesis resume
The primary objective of this thesis is to study from a categorical point of view the following theorem: a lattice is completely distributive if and only if the quantale of endomorphisms of this lattice is a Frobenius quantale.
In doing so, we have encountered a definition of Frobenius quantales which, unlike the usual definition, does not imply unity. The first contribution of this thesis is a study of unitless Frobenius quantales. We generalize the theory of nuclei to these quantals, making it possible to obtain "classical negations" from "intuitionistic negations". Thanks to this theory, we give a representation theorem for these quantales in terms of phase quantales, i.e. as quotients of the free quantale over a semigroup. We provide several examples of unitless Frobenius quantales, including the quantale of tight endomorphisms on a complete lattice L. This quantale is always a Frobenius quantal, and we show that it has a unit if and only if the lattice L is completely distributive.
The second part directly addresses our first objective. We give a definition of Frobenius structures in any symmetric monoidal category, following very closely the definition of unitless Frobenius quantales. To this end, we introduce dual pairs, which generalize the dual of an object. In particular, this notion makes possible the study of duality up to isomorphism. We show precisely how, and under what conditions, it is possible to transit between Frobenius structures as we have defined them, and various definitions of Frobenius algebras well-established in the literature. Above all, we show that, in a star-autonomous category, the monoid of endomorphisms of a nuclear object can always be endowed with a Frobenius structure. We also show that, under certain conditions, an "intuitionistic negation" induces a Frobenius structure on its image. Furthermore, we expose a sufficient condition for the following statement to be true: if the object of endomorphisms is a Frobenius structure, then this object is nuclear. A category that verify this condition is named pseudo-affine. In order to explore this condition, we construct a star-autonomous category that is not pseudoaffine.
The third and final part of this thesis studies and generalizes Shalk's and Paiva's construction. We ask under what conditions the monoidal, closed monoidal or star-autonomous structure of a category C can be raised to the total category of a functor of domain C and codomain Pos, the category of partially ordered sets. To this end, we provide a bijection between liftings of functors and certain lax-natural transformations. We also give the exact conditions under which adjunctions can also be lifted. In particular, when the functor Q is monoidal and factorizes monoidally through SLatt the category of complete sup-lattices, the total category over Q is closed monoidal if and only if the base category C is. We then provide a precise characterization for the total category to be star-autonomous. Finally, we develop a theory of nuclei for monoidal functors whose co-domain is SLatt, analogous to the one for quantales. This theory allows us to construct a functor whose total category is star-autonomous from monoidal functor whose co-domain is Slatt. Just like for Frobenius quantals, this theory of nuclei allows us to obtain a representation theorem for functors whose total category is star-autonomous.We conclude this thesis by showing that these functors are exactly the Frobenius structures in the star-autonomous category of functors whose domain is star-autonomous and whose co-domain is SLatt.