Soutenance de thèse de Alexandre MARIN

L’usage de plus en plus répandu de l’informatique graphique engendre de nouveaux problèmes et besoins. Notamment, la généralisation des simulations numériques occasionne aussi de nouveaux défis. Compte tenu des inconvénients des maillages tétraédriques et hexa-dominants, et puisque que les méthodes du type Éléments Finis sont limitées à des maillages contenant des cellules de topologies bien précises (par exemple hexaèdres et leurs dégénérescences), des travaux récents sur les simulations numériques ont développé des méthodes applicables à des maillages plus généraux. La famille des volumes finis non linéaires, et plus particulièrement les méthodes HMM, sont des exemples de telles généralisations. Initialement élaborées pour les maillages en géosciences classiques, ces méthodes peuvent en fait être appliquées à une plus grande classe de maillages, qui est celle des maillages polyédriques. Les maillages polyédriques sont de bons candidats pour simultanément remplir les deux conditions suivantes : réduire le nombre de cellules et contrôler leur géométrie pour améliorer la stabilité et les performances des simulations. La génération de diagrammes de Voronoï est une des façons les plus connues de paver un domaine de l’espace. Pour contrôler le rapport de forme des cellules de ces diagrammes de Voronoï, les travaux en pointe définissent une énergie, appelée fCVT, dont la minimisation permet de maîtriser la densité et l’anisotropie de tels pavages de Voronoï. Cependant, les approches proposées ne sont pas toujours efficaces et restent difficiles à mettre en oeuvre (pour des raisons techniques, l’optimisation de l’énergie requiert une discrétisation du volume d’intérêt et du champ d’anisotropie). Notre contribution est triple : • premièrement, nous introduisons une structure de données pour encoder de tels maillages polyédriques efficacement (aussi bien du point de vue de la consommation de mémoire que du temps d’accès aux données); • ensuite, nous nous concentrons sur le calcul de diagrammes de Voronoï anisotropes. Nous introduisons et prouvons une expression du gradient ∇fCVT pour un champ continu d’anisotropie. Contrairement aux méthodes modernes, nous obtenons une méthode (dite « exacte » dans la suite) qui n’exige aucune discrétisation du domaine d’intérêt, et par conséquent qui ne dépend pas de la géométrie du maillage de ce dernier. Dernièrement, nous introduisons une heuristique hiérarchique pour accélérer et paralléliser le calcul de pavages polyédriques anisotropes. Pour valider cette approche, nous donnons des résultats qualitatifs et quantitatifs, et nous comparons avec une autre méthode récente; • troisièmement, nous examinons les questions soulevées par la mise en conformité de tels maillages : ces pavages devraient se conformer à des surfaces décrivant des interfaces de nature géologique (failles et horizons).

With the rapid expansion of computer graphics uses, new problems and needs are coming out. Among them, the generalization of numerical simulation entails new challenges. Because of the drawbacks of tetrahedral and hex-dominant meshes and since finite elements methods are limited to precise cell topologies (ie. hexahedra and their degenerations), recent works on numerical simulation have developed schemes applicable to more general meshes. The Hybrid Mixed Mimetic (HMM) family or nonlinear finite volumes schemes, are examples of such generalizations. Initially developed for standard geosciences meshes, those methods can actually be applied to a larger class of meshes, namely polyhedral meshes. Polyhedral meshes are good candidates to simultaneously meet both of these criteria: reduce the number of cells and control their geometry to improve simulations stability and performances. Generating a Voronoi diagram is one the most famous way to tessellate a domain. In order to control the aspect ratio of cells, state-of-the-art works introduce an energy (called fCVT), which minimization provides control over the local density and anisotropy of the tessellation. However, such approaches remain computationally costly and complex (e.g. for technical reasons, this optimization requires a discretization of the volume of interest and of the anisotropy field). Our contribution is threefold: • first we introduce a data structure to encode such polyhedralmeshes efficiently (both in terms of memory and access time); • then, we focus on the computation of anisotropic Voronoi tesselations. We introduce and prove an expression of ∇fCVT for a continuous anisotropy field. Then, unlike state-of-the-art methods, we obtain a method (called ”exact” in the sequel) which does not require any discretization of the volume of interest and hence does not depend on the geometry of themesh. Last, we introduce a heuristic hierarchical approach to accelerate and parallelize the computation of restricted anisotropic polyhedral tessellations. In order to validate this approach, we give qualitative and quantitative results and carry out a comparison with a pre-existent approach; • third, we investigate the question of conformity for suchmeshes: tessellations should comply with surfaces describing geological interfaces (faults and horizons).