Soutenance de thèse de Daniele DAINI

Les modèles de champ neuronal peuvent être représentés avec des équations intégro-différentielles retardées qui impliquent la connectivité entre les populations de neurones, et nécessitent généralement des simulations numériques pour être étudiées car les approches analytiques ne peuvent être appliquées avec succès que dans des cas d'utilisation simplifiés. Les simulations numériques de champs neuronaux ont tendance à être coûteuses en temps de calcul, de sorte que l'efficacité du simulateur mis en œuvre est essentielle. Dans ce travail, nous explorons la possibilité d'appliquer des méthodes spectrales aux équations de champ neuronal pour réduire la charge de calcul. Nous allons introduire une méthode qui permet un compromis entre précision et vitesse d'une simulation, réduisant la dimensionnalité de la dynamique. La principale réalisation de la thèse est le développement d'un simulateur pseudospectral qui a été implémenté pour étendre le logiciel TVB et qui peut être appliqué pour obtenir une accélération d'un ordre de grandeur par rapport aux simulations TVB en surface. L'équation du champ neuronale est définie sur une surface corticale, une surface de 2 dimensions fortement plissée en 3 dimensions, tandis que les régions sous-corticales sont représentées comme des masses neuronales uniques, et les faisceaux de matière blanche sont modélisés à l'aide d'approches connectome. Pour appliquer efficacement les techniques spectrales, le domaine spatial est mappé sur une sphère, avec un mappage un à un entre les sommets, en utilisant des routines préexistantes qui minimisent les distorsions métriques induites (implémentées dans FreeSurfer). La solution est ensuite déterminée en la décomposant en harmoniques sphériques, ce qui constitue un ensemble complet de fonctions carrées intégrables sur le domaine sphérique, et en effectuant le pas de temps dans l'espace des modes ; en pratique, une telle décomposition peut être effectuée de manière très efficace (de manière analogue à la transformée de Fourier rapide). Le pas de temps détermine les projections de la solution sur l'ensemble des harmoniques sphériques, qui peuvent être utilisées pour reconstruire la solution dans l'espace physique, qui est ensuite mappée sur la surface repliée et correspond au signal source.

The high spatial density of the neurons in the cerebral cortex allows for the representation of the mean neural activity as a continuous function of space; such a spatially extended macroscopic characterization of the brain activity is described by neural field models, that have been developed since the 1950s and have found wide applications in virtue of their link with neural recording techniques like an electroencephalogram (EEG) and functional magnetic resonance imaging (fMRI). Neural field models can be represented with delayed integro-differential equations that involve the connectivity between neural populations, and typically require numerical simulations to be investigated as analytical approaches can be successfully applied only in simplified use cases. Numerical simulations of neural fields tend to be computationally expensive so that the efficiency of the simulator implemented is key. In this work, we explore the possibility of applying spectral methods to neural field equations to reduce the computational burden. We are going to introduce a method that allows for a trade-off between accuracy and speed of a simulation, reducing the dimensionality of the dynamics. The main achievement of the thesis is the development of a pseudospectral simulator that has been implemented to extend the TVB software and that can be applied to obtain a speedup of an order of magnitude with respect to surface-based TVB simulations. The neural field equation is defined on the cortical surface, a highly folded 2-dimensional surface embedded in a three-dimensional space, while subcortical regions are represented as single neural masses, and the white-matter tracts are modelled using connectome approaches. To efficiently apply spectral techniques, the spatial domain is mapped to a sphere, with a one-to-one mapping between the vertices, using pre-existing routines that minimizes the metrical distortions induced (implemented in FreeSurfer). The solution is then determined decomposing it into spherical harmonics, which constitutes a complete set for square-integrable functions on the spherical domain, and performing the time stepping in the mode space; in practice, such decomposition can be carried on very efficiently (analogously to the fast Fourier transform). The time-stepping determines the projections of the solution on the set of spherical harmonics, that can be used to reconstruct the solution in the physical space, which is then mapped back to the folded surface and corresponds to the source signal.