Ecole Doctorale

Mathématiques et Informatique de Marseille

Spécialité

Mathématiques

Etablissement

Aix-Marseille Université

Mots Clés

équations aux dérivées partielles,réaction-diffusion,fronts pulsatoires,fronts de transition,vitesse de propagation,phénomènes de propagation

Keywords

partial differential equations,reaction-diffusion,pulsating fronts,transition fronts,spreading speeds,propagation phenomena

Titre de thèse

Dynamique spatiale dans des modèles de réaction-diffusion
Spatial dynamics in reaction-diffusion models

Date

Mardi 28 Septembre 2021

Adresse

Frumam, Saint Charles, 3 Place Victor Hugo, 13003 Marseille 7-2/C1-03

Jury

Directeur de these M. François HAMEL Aix-Marseille Université
CoDirecteur de these M. Xing LIANG University of Science and Technology of China
Examinateur Mme Guillemette CHAPUISAT Aix-Marseille Université
Examinateur M. Yuan LOU Ohio State University, Shanghai Jiao Tong University
Examinateur M. Philippe SOUPLET Université Sorbonne Paris Nord
Rapporteur M. Arnaud DUCROT Université Le Havre Normandie
Rapporteur M. Xuefeng WANG The Chinese University of Hong Kong-Shenzhen
Examinateur Mme Yaping WU Capital Normal University

Résumé de la thèse

Cette thèse s’intéresse aux fronts progressifs et aux phénomènes de propagation des EDP non linéaires (principalement les équations de réaction-diffusion) apparaissant en physique, biologie, sciences médicales, etc. Les principaux résultats sont déclinés dans quatre parties. Dans la première partie, on a considéré un modèle de flamme prémélangée avec une cinétique à température d’ignition différente de la cinétique classique d’Arrhenius, pour laquelle ce modèle décrit la dynamique des flammes épaisses. Lorsque le nombre de Lewis est grand (Le > 1), des pulsations périodiques sont observées, ce que nous avons cherché à caracteriser mathématiquement. On considère la flamme comme une interface à déterminer dans un problème à frontière libre, lequel est transformé en une équation parabolique totalement non linéaire. Nous avons démontré l’existence d’une bifurcation de Hopf. Dans la deuxième partie, nous considérons des modèles de type champ-route proposés par Berestycki et al. dans le but de décrire l’influence d’une ligne à diffusion rapide sur la propagation des espèces invasives. Nous considérons d’abord ce modèle dans des environnements spatialement périodiques et montrons l’existence d’une vitesse de propagation qui s’avère être la vitesse minimale des fronts pulsatories. Ensuite, nous étudions le problème elliptique de ce modèle et montrons l’existence de solutions faibles non triviales dans les domaines bornés et non bornés. Dans la troisième partie, on considère des équations bistables dans des domaines de R^N en forme d’entonnoir constitué d’une partie cylindrique droite et d’une partie conique. Nous étudions la dynamique en temps grand de solutions entières émanant d’un front plan dans la partie droite et se déplaçant dans la partie conique. Nous montrons une dichotomie entre blocage et invasion. Nous montrons également que toute solution se propageant complètement est un front de transition ayant une vitesse moyenne globale, qui est l’unique vitesse des fronts plans, et qu’elle converge en temps grand dans la partie conique vers un front courbe dont la position est approchée par des sphères de rayons de plus en plus grands. De plus, nous fournissons des conditions suffisantes sur la taille R de la partie droite et sur l’angle d’ouverture α de la partie conique, sous lesquelles la solution se bloque ou se répand complètement dans la partie conique. On montre enfin que l’ensemble des paramètres (R, α) pour lequel la propagation est complète est un ensemble ouvert. Dans la dernière partie, nous considérons un modèle unidimensionnel constitué d’une succession d’équations de réaction-diffusion dans des milieux homogènes, où de nouvelles conditions de couplage aux interfaces sont introduites pour refléter le mouvement des individus lorsqu’ils passent entre deux milieux adjacents. Dans un premier temps, nous considérons ce modèle dans un environnement spatialement périodique. Nous établissons rigoureusement le caractère bien posé du problème de Cauchy. Nous étudions en outre les propriétés d’étalement et l’existence de fronts pulsatoires dans les directions positive et négative. Deuxièmement, nous étudions un modèle simplifié constitué de deux milieux homogènes dans R. Nous montrons tout d’abord des propriétés d’étalement des solutions dans le cas KPP-KPP. Ensuite, dans le cadre KPP-bistable, nous étudions différentes conditions dans lesquelles les solutions du problème de Cauchy peuvent avoir différentes dynamiques dans le milieu bistable, à savoir le blocage, le blocage virtuel ou la propagation. En particulier, lorsque la propagation se produit, un résultat de stabilité globale est prouvé. Les résultats dans le cadre KPP-bistable peuvent également être étendus au cadre bistable-bistable sous certaines hypothèses.

Thesis resume

This dissertation is concerned with traveling fronts and propagation phenomena of nonlinear PDEs (mainly the reaction-diffusion equations) arising in physics, biology and medical science, etc. The main results consist of the following four parts. In the first part, we considered a premixed flame model with an ignition temperature kinetics different from the classical Arrhenius kinetics, for which this model describes the dynamics of thick flames. When the Lewis number is large, pulsating instabilities are observed, which we have sought to characterize my thematically. We consider the flame as an interface to be determined in a free interface problem, which is transformed into a totally nonlinear parabolic equation. We prove the existence of a Hopf bifurcation. In the second part, we consider the so-called field-road model proposed by Berestycki et al. for the purpose of describing the influence of a line with fast diffusion on the propagation of invasive species. We first consider this model in spatially periodic environments and show the existence of asymptotic spreading speed which turns out to be the minimal speed of pulsating traveling waves. Then, we investigate the elliptic problem of this model and prove the existence of nontrivial weak solutions in bounded and unbounded domains. In the third part, we study the effect of the geometry of the underlying domain on propagation phenomena of bistable equations. We consider bistable equations in funnel-shaped domains of R^N made up of straight parts and conical parts. We investigate the large time dynamics of entire solutions emanating from a planar front in the straight part and moving into the conical part. We show a dichotomy between blocking and spreading. We also show that any spreading solution is a transition front having a global mean speed, which is the unique speed of planar fronts, and that it converges at large time in the conical part to a well-formed front whose position is approximated by expanding spheres. Moreover, we provide sufficient conditions on the size R of the straight part and on the opening angle α of the conical part, under which the solution emanating from a planar front is blocked or spreads completely in the conical part. We finally show the openness of the set of parameters (R, α) for which the propagation is complete. In the last part, we consider a one-dimensional patchy model made up of a succession reaction-diffusion equations in homogeneous media, where novel interface matching conditions are introduced to reflect the movement behavior of individuals when they come to the edge of a patch. Firstly, we consider this model in a spatially periodic environment. We establish the well-posedness rigorously for the Cauchy problem. We then investigate the spreading properties and the existence of pulsating traveling waves in the positive and negative directions. Secondly, we study a simplified two patchy model in R which consists of two homogeneous habitats. Our interest is to investigate propagation dynamics of solutions to the Cauchy problem with compactly supported initial data in different reaction combinations. We first derive the spreading properties of solutions in KPP-KPP case. Then, in KPP-bistable framework we investigate different conditions under which the solutions may show different dynamics in the bistable patch, that is, blocking, virtual blocking or propagation. In particular, when propagation occurs, a global stability result is proved. The results in KPP-bistable frame can also be extended to the bistable-bistable setting with certain hypotheses.