Soutenance de thèse de YOUSSOUF NASSERI

Cette thèse s’inscrit dans la continuité de collaborations entre l’IRSN (Institut de Radioprotection et Sûreté Nucléaire) et l’I2M (Institut de Mathématiques de Marseille) sur le développement et l’analyse de schémas de discrétisation en temps et en espace pour la résolution numérique de certains problèmes de mécanique des fluides. La première partie de ce manuscrit concerne les équations de Saint-Venant. On propose une analyse d’un schéma numérique pour les équations Saint-Venant avec gradient de fond, avec un schéma de Heun en temps et un schéma MUSCL en espace pour des volumes finis sur grilles à mailles décalées (schéma MAC). La stabilité du schéma est démontrée, ainsi qu’un résultat de consistance "à la Lax" pour un opérateur général de convection non linéaire sur maillages décalées, qui s’applique à tous les systèmes de lois de conservation. Des tests numériques sont effectués pour établir la validité du schéma. On s’intéresse aussi aux mêmes équations, mais avec un terme source qui modélise la force de Coriolis pour la modélisation d’écoulements géostrophiques. La discrétisation MAC upwind est comparée à une discrétisation par éléments finis de type Rannacher-Turek avec une stabilisation qui permet de réduire la diffusion. Des résultats numériques permettent de comparer les deux schémas avec une résolution de type Godunov. Ensuite, on considère les équations de Saint-Venant en une dimension d’espace couplées avec une équation dite "d’Exner", qui modélise le transport de sédiment. Une régularisation de la loi de frottement permet d’obtenir un bilan d’énergie. Plusieurs formules de flux de sédiment déjà proposées dans la littérature sont étudiées. Les équations résultantes sont discrétisées par un schéma explicite par équation en temps et un schéma à mailles décalées en espace. Le tout est illustré par des résultats numériques. La deuxième partie est consacrée à la résolution numérique d’un modèle de simulation de déflagration turbulente régi par les équations d’Euler réactif. La modélisation de la combustion est basée sur une approche phénoménologique : la propagation de la flamme est représentée par le transport de la fonction caractéristique de la zone brûlée, où la réaction chimique est complète ; en dehors de cette zone, l’atmosphère reste à l’état frais. Numériquement on adopte une approche de type pénalisation, c’est-à-dire en utilisant un taux de conversion fini avec un temps caractéristique tendant vers zéro avec les pas d’espace et de temps. Ici encore, le schéma numérique est à maillage décalé, et l’algorithme en temps consiste à résoudre d’abord les bilans de masse des espèces chimiques, puis, les bilans de masse, de quantité de mouvement et d’énergie du fluide. Des propriétés de stabilité sont démontrées, et on observe numériquement que la procédure de pénalisation converge. Une solution exacte pour le problème de la déflagration sphérique modélisée par les équations d’Euler réactif est construite, dans le but d’obtenir une solution de référence pour les tests du code PREMICS d’incendie et sûreté nucléaire de l’IRSN

This thesis is a continuation of collaborations between IRSN and I2M on the development and analysis of discretization schemes in time and space for the numerical resolution of certain fluid mechanics problems. The first part of this thesis concerns the shallow water equations. We propose an analysis of a numerical scheme for the shallow water equations with a gradient of the topography, based on a Heun scheme in time combined with a MUSCL scheme in space for finite volumes on staggered grids (MAC scheme). The stability of the scheme is proven, as well as a "Lax consistency" property. In addition, a lemma of consistency "in the sens of Lax" for a general operator of non-linear convection on staggered mesh grids is proved, which is applicable to all conservation law systems. Numerical tests are carried out to establish the validity of the scheme. We are also interested in the same equations, but with a source term that models the Coriolis force for modelling geostrophic flows. The MAC upwind discretization is compared to a Rannacher-Turek finite element discretization with a stabilization technique that reduces diffusion. Numerical results allow to compare the two schemes with a Godunov type solver. Then, the shallow water equations are considered in one dimension of space coupled with a so-called Exner equation, which models the sediment transport. A regularization of the friction law allows us to obtain an energy balance. Several sediment flow formulae already proposed in the literature are studied. The resulting equations are discretized by an explicit scheme equation by equation in time and by a staggered scheme in space. The whole is illustrated by numerical results. The second part is devoted to the numerical resolution of a turbulent deflagration simulation model governed by reactive Euler equations. Combustion modelling is based on a phenomenological approach: flame propagation is represented by the transport of the characteristic function of the burnt zone, where the chemical reaction is complete; outside this zone, the atmosphere remains at fresh state. Numerically a penalty type approach is adopted, i.e. using a finite conversion rate with a characteristic time tending towards zero with space and time steps. Here again, the numerical scheme is with staggered meshes, and the time algorithm consists in solving first the mass balances of the chemical species, then the mass, momentum and energy balances. Stability properties are demonstrated, and it is numerically observed that the penalty procedure converges. An exact solution for the problem of spherical deflagration modelled by the reactive Euler equations is built, in order to obtain a reference solution for the tests of the IRSN’s PREMICS fire and nuclear safety code.