Soutenance de thèse de Isam BEN SOLTANE

Les dynamiques temporelles des systèmes physiques linéaires sont décrites par des fonctions de réponse ou de transfert dans le domaine harmonique. La caractérisation de ces fonctions de la fréquence est cruciale puisqu’elle permet de comprendre les interactions entre signaux excitateurs et systèmes, pour contrôler la réponse spectrale avec, par exemple, des résonances particulières, et concevoir des systèmes présentant des réponses bien définies. La méthode du développement en singularités part d’observations physiques, à savoir la réponse de résonateurs à des champs électriques excitateurs sinusoïdaux, pour offrir une description analytique des fonctions de réponse dans le domaine harmonique. Ce manuscrit de thèse a pour point de départ cette méthode, et entend démontrer, généraliser et exploiter le développement en singularités. En partant des propriétés fondamentales, et par conséquent peu restrictives, des systèmes et fonctions de réponse ou transfert rencontrés en physique, une expression exacte est obtenue avec la méthode du développement généralisé en singularités d’ordres multiples. Cette description naturelle de ces fonctions méromorphes repose sur leur ensemble discret de fréquences complexes appelées singularités, ainsi qu’un terme non résonnant rendant compte du comportement à haute fréquence. Une forme alternative, la factorisation en singularités et zéros, est également présentée, ainsi que le comportement dans le domaine temporel obtenu par transformation de Laplace inverse des expressions obtenues. Bien que discret, l’ensemble des singularités, ou pôles, peut être infini. L’utilisation pratique du développement en singularités nécessite donc de montrer la précision des expressions tronquées, avec des nombres finis de pôles, ainsi que leur convergence. Cette étude est abordée dans un second temps dans le cas d’un système pour lequel des modèles analytiques existent : la cavité de Fabry-Perrot. D’abord dans le cas d’un slab diélectrique à indice de réfraction constant, puis dans le cas d’une fine couche d’or présentant de la dispersion et de l’absorption. La méthode ainsi démontrée et testée avec un système maîtrisé, elle est ensuite utilisée dans le cas de la permittivité relative de différents matériaux. Cette fonction apparaissant comme une fonction de transfert dans les relations constitutives des équations de Maxwell, il est possible de lui appliquer un développement en singularités. Nous montrons que ce développement, qui résulte d’observations à l’échelle macroscopique, englobe et généralise les modèles microscopiques classiques de Lorentz, Drude et Debye utilisés pour décrire la permittivité diélectrique. Dans un chapitre dédié, nous nous intéressons à la caractérisation des phénomènes de résonance en exploitant le développement en singularités et la factorisation en singularités et zéros. En remarquant que les termes résonnants associés aux pôles sont des transformations de M"obius transformant l’axe des fréquences réelles en cercles dans le plan complexe, nous décrivons les résonances comme des perturbations dues à la présence des pôles et zéros. La contribution de ces derniers est quantifiée par une fonction de qualité que nous introduisons, pour toute forme de réponse spectrale, à toute fréquence. Calculée à partir de la phase des signaux, cette fonction généralise le facteur de qualité classique. Enfin, nous présentons deux méthodes permettant de déterminer les pôles, résidus (coefficients de Laurent des pôles simples généralement rencontrés) et zéros complexes dans le domaine harmonique à partir de données simulées ou mesurées à des fréquences réelles. Les deux approches, basées sur l’auto-différentiation et la méthode de Cauchy, sont ensuite étudiées pour distinguer les pôles naturels, qui rendent compte de la physique des systèmes, des pôles effectifs, qui servent principalement à obtenir de bonnes approximations aux fréquences réelles.

The temporal dynamics of linear physical systems are described by response or transfer functions in the harmonic domain. The characterization of these functions of the frequency is highly important, as it allows to better understand the interaction of excitation signals with systems, to produce various effects such as resonances, or to design systems with well-defined and controlled responses. The singularity expansion method starts with physical observations, namely the response of spherical resonators to sinusoidal electric fields, to analytically describe response functions in the harmonic domain. It is the starting point of this PhD manuscript, which attempts to derive, generalize and apply the singularity expansion method. Starting from (quasi) non-restrictive fundamental properties of systems and response or transfer functions, an exact expression is obtained with the multiple-order singularity expansion. That natural description of these meromorphic functions relies on their discrete set of complex frequencies called singularities, as well as a non-resonant term accounting for the high-frequency behaviour. An alternative form, the singularity and zero factorization, is also introduced, along with the dynamics in the temporal domain by applying the inverse Laplace transform on the resulting expressions. The discrete set of singularities can often be infinite. It is thus necessary to show that the truncated expressions are accurate in practice, and that they converge as poles are added. This task is performed in a study case for which analytical expressions are known for comparison: the Fabry-Perot cavity. We first look at a constant refractive index slab, then at the case of an absorbing and dispersive, thin layer of gold. Once the accuracy of the method is tested and demonstrated, we use it in the case of the relative permittivity of different materials. It appears as a transfer function in the constitutive relations of the Maxwell equation, and thus possesses a singularity expansion. We show that this expansion, which results from the macroscopic behaviour of physical systems, encapsulates and generalizes the classical microscopic models of Debye, Drude and Lorentz, used to study the dielectric permittivity. Thereafter, in the following chapter, we investigate the description of resonances by exploiting the singularity expansion and the singularity and zero factorization. By noticing that the resonant terms associated with the poles are Möbius transformations mapping the real frequency axis to circles in the complex plane, we describe resonances as perturbations induced by the presence of the poles and zeros. The contribution of the latter is quantified by a quality function that we introduce and characterize, for any form of spectral response, at any frequency. This quality function is derived from the phase of the signals and extends the classical notion of quality factor. Finally, we present two methods to retrieve the complex poles, residues (the Laurent coefficients of simple poles, usually encountered in systems) and zeros in the harmonic domain, using experimental or simulated data acquired at real frequencies. The first approach is based on the Cauchy method, while the second one relies on auto-differentiation. We study both methods and discriminate between the natural poles, accounting for the underlying physics of the systems, and the effective poles, which mainly improve the approximations at real frequencies.