Ecole Doctorale

Physique et Sciences de la Matière

Spécialité

PHYSIQUE & SCIENCES DE LA MATIERE - Spécialité : PHYSIQUE THEORIQUE ET MATHEMATIQUE

Etablissement

Aix-Marseille Université

Mots Clés

synchronisation,laplacien,kuramoto,mesure,régularité,complexité

Keywords

synchronization,Laplacian,kuramoto,regularity,complexity,measure

Titre de thèse

complexité définie comme une mesure des chemins conduisant à une certaine notion de régularité.
complexity as a measure of paths to regularity

Date

Vendredi 4 Novembre 2022 à 12:00

Adresse

Av. Parque Chapultepec 1570, 78210 San Luis, S.L.P. Auditorio de la Facultad de Ciencias UASLP

Jury

Directeur de these M. Xavier LEONCINI Aix Marseille Université
Rapporteur Mme Stefanella BOATTO Universidade Federal de Rio de Janeiro
Rapporteur M. Bastien FERNANDEZ CNRS - Universite Paris Cite - Sorbonne Universite
CoDirecteur de these M. Edgardo UGALDE Universidad Autónoma de San Luis Potosi
Examinateur Mme Leticia RAMíREZ HERNáNDEZ Universidad Autónoma de Zacatecas
Examinateur M. Gelasio SALAZAR Universidad Autónoma de San Luis Potosi
Examinateur Mme Gabriela ARAUJO Universidad Nacional Autónoma de México
Examinateur M. Olivier AGULLO Aix-Marseille Université

Résumé de la thèse

Les systèmes complexes peuvent être considérés comme des systèmes composés d’un grande quantité d’individus, ayant le plus souvent des interactions non linéaires définies par un réseau. Lorsque la dynamique est introduite, suivant les conditions initiales et le système considéré, le système peut finir par atterrir dans un attracteur final donné, qui dans le cas le plus simple n'est qu'un point fixe du système dynamique. Un des phénomènes marquants dans le domaine des systèmes complexes est celui étudié dans cette thèse : le phénomène de synchronisation. Nous pouvons trouver de nombreux phénomènes dans la nature dans lesquels la synchronisation est clairement observé, par exemple des groupes d'oiseaux qui volent en créant des motifs dans le ciel, ou des groupes de poissons qui nagent très près les uns des autres de manière fluide dans l'océan. On peut même retrouver ce phénomène dans certains comportements humains, lorsqu'à la fin d'un concert, les applaudissements commencent et, après quelques instants, il semble que tout le monde applaudisse en même temps. C'est ainsi que la synchronisation des événements semble se faire naturellement, comme s'ils étaient programmés de telle manière que l'interaction entre eux, même si elle est très faible, se traduirait par un ajustement de leurs rythmes. Dans cette thèse, j’introduis une nouvelle approche afin de quantifier la synchronisation de ce type de systèmes. Ensuite, via une codification des chemins vers la synchronisation j’étudie le comportement transitoire des flux de synchronisation définis sur un réseau. Plus précisément, je me concentre sur le système Laplacien et le modèle de Kuramoto agissant sur trois types de graphes. Pour commencer, fixons un graphe $G=(V,E)$ où $V$ est l'ensemble des sommets et $E$ est l'ensemble des arêtes, et considérons un système d'équations différentielles couplées sur $I^{|V |}$, où $I$ est soit l'ensemble des nombres réels $mathbb{R}$ soit le cercle, que j’écrive sous la forme $S^1$. Le flux est généré par un système d'équations différentielles ordinaires couplées selon les interactions définies par $E$. Alors, pour le premier cas, le textit{flux Laplacien discret} ou simplement textit{flux Laplacien} sur le graphe $G$, est le système linéaire défini par begin{eqnarray*} frac{dx_v}{dt}=&(L,x)_v, =&sum_{uin V: , (u,v)in E}(x_u-x_v). end{eqnarray*} Avec $x_vin mathbb{R}$ pour chaque $vin V$. Aussi, dans cette équation $L=L(M_G)$ est la matrice Laplacienne de la matrice d'adjacence $M_G$. En utilisant ce concept mathématique, il a été possible d'étudier la vibration d'une membrane discrète et certaines propriétés chimiques des substances. D'autre part, pour le système non linéaire considéré dans cette thèse, nous avons que selon Kuramoto, asymptotiquement, la dynamique de certains systèmes est presque identique, et il a proposé que les $N$ oscillateurs couplés soient décrits par le système d'équations couplées suivant begin{equation*} frac{dx_i}{dt}=omega_i+sum_{j=1}^NGamma_{i,j} (x_j-x_i), end{equation*} pour $i=1,..,N$, où la fonction d'interaction $Gamma_{i,j}$ détermine la forme du couplage entre chaque oscillateur $i$ et $j$, aussi, $omega_i$ est la fréquence naturelle, et $x_i$ est l'angle de phase de chaque oscillateur. En raison du caractère général de l’équation précédente et de la complexité de la fonction d’interaction introduite $Gamma_{i,j}$, qui autorise tout type de couplage, l’analyse théorique reste extrêmement difficile. Afin de réduire considérablement la difficulté de l’étude, considérons dans un premier temps que $Gamma$ est égal à la fonction identité, alors nous avons une traduction du système Laplacien qui dépend de $omega_i$. Ainsi, il semble qu'à chaque fois que nous modifions la fonction $Gamma$, elle peut faire l'objet d'un vaste domaine d'étude.

Thesis resume

In this thesis, it is introduced a way to quantify the synchronization of a system from a codification of the paths towards synchronization for synchronizing flows defined over a network. Specifically, I focus on the Laplacian system and the Kuramoto model. The collection of paths toward synchronization defines a combinatorial structure, which is called: the transition diagram. It is described the transition diagram corresponding to the Laplacian flow over the completely connected graph $K_N$. These results obtained are applied to the Kuramoto flow over the same graph when initial conditions close to the diagonal are considered, and furthermore, they generalize to flows that are monotonic, that maintain the order of the coordinates, and whose differences also maintain the order. It is presented as well some numerical and analytical results concerning the Laplacian (for initial conditions that are balanced, that implies that they preserve monotony) and Kuramoto flows over the complete bipartite graph $K_{N,N}$ from a coding inspired by that of the $K_N$ and a discussion is raised about their similarities and differences. Also it is studied computationally, the transient dynamics of the Laplacian system applied to the cycle graph $C_N$, in this case there are a different perspective, due to this is a no-monotonic case.