Ecole Doctorale

Mathématiques et Informatique de Marseille

Spécialité

Mathématiques

Etablissement

Aix-Marseille Université

Mots Clés

Amplitude,Hyperbolicité,Conjecture de Lang,,

Keywords

Ampleness,Hyperbolicity,Lang's conjecture,,

Titre de thèse

Positivité de fibrés vectoriels, et hyperbolicités intermédiaires.
Positivity of vector bundles, and intermediate hyperbolicities.

Date

Vendredi 4 Juin 2021 à 14:00

Adresse

CMI Université d'Aix-Marseille 39, rue Frédéric Joliot-Curie 13453 Marseille Cedex 13 France A déterminer

Jury

Directeur de these M. Erwan ROUSSEAU Université d'Aix-Marseille
Rapporteur M. Damian BROTBEK Université de Lorraine
Rapporteur M. Jörg WINKELMANN Ruhr-Universität Bochum
Examinateur M. Simone DIVERIO Rome La Sapienza
Examinateur Mme Amerik EKATERINA Université de Paris-Sud
CoDirecteur de these M. Lionel DARONDEAU Université de Montpellier
Examinateur M. Xavier ROULLEAU Université d'Aix-Marseille

Résumé de la thèse

Dans cette thèse, nous commençons par étudier une variante de la conjecture de Debarre sur l'amplitude des intersections complètes dans un espace projectif. La conjecture originale, prouvée indépendamment par Xie et Brotbek-Darondeau, affirme que, dans l'espace projectif (P^{N}), toute intersection complète de plus de (frac{N}{2}) hypersurfaces générales de degrés suffisamment grands a son fibré cotangent (Omega_{X}) ample. Nous étudions plus généralement le cas de l'amplitude de puissances de Schur (S^{lambda}) du fibré cotangent, où (lambda) est une partition quelconque, et obtenons le résultat suivant: dans l'espace projectif (P^{N}), toute intersection complète de plus de (frac{N}{k+1}) hypersurfaces générales de degrés suffisamment grands a la (lambda)ème puissance de Schur de son fibré cotangent (S^{lambda}Omega_{X}) ample, où (lambda) une partition de profondeur (k). II est bien connu que des variétés projectives possédant des propriétés d'amplitude forte sur leur algébre extérieure, comme les intersections complètes générales précédentes, satisfont également des propriétés d'hyperbolicité. Nous rappelons alors les notions d'hyperbolicités intermédiaires (analytiques), ainsi que quelques grandes conjectures reliant ces notions (transcendantes) aux variétés projectives de type général. Ces conjectures prédisent en particulier des propriétés de finitude fortes pour les variétés projectives satisfaisant des propriétés d'hyperbolicité intermédiaire. En particulier, le groupe d'automorphismes de telles variétés doit être fini. Le deuxième résultat de cette thèse consiste en la preuve de ce fait sous une hypothèse quasi-optimale. Dans une troisième et dernière partie, qui est un travail joint avec Erwan Rousseau et Ariyan Javanpeykar, nous introduisons l'analogue algébrique des hyperbolicités intermédiaires analytiques précédentes, généralisant la définition classique d'hyperbolicité algébrique au sens de Demailly. Nous étudions alors, comme précédemment, les propriétés de finitude de variétés satisfaisant des propriétés d'hyperbolicité algébrique intermédiaire. Nous montrons que pour toute variété (X) satisfaisant une propriété d'hyperbolicité algébrique intermédiaire, et pour toute variété projective intégrale (Y), les morphismes surjectifs de (Y) dans (X) sont en nombre fini: c'est le troisième résultat de cette thèse.

Thesis resume

In this thesis, we start by studying a variation of a conjecture of Debarre on the ampleness of complete intersections in a projective space. The original conjecture, proved independently by Xie and Brotbek-Darondeau, asserts that, in the projective space (P^{N}), every complete intersection of at least (frac{N}{2}) general hypersurfaces of high enough degrees has ample cotangent bundle (Omega_{X}). We study more generally the case of ampleness of Schur powers (S^{lambda}) of cotangent bundles, where (lambda) is any partition, and obtain the following result: in the projective space (P^{N}), every complete intersection of at least (frac{N}{k+1}) general hypersurfaces of high enough degrees has the (lambda)th power of its cotangent bundle (S^{lambda}Omega_{X}) ample, where (lambda) is a partition of depth (k). It is well-known that projective varieties satisfying strong positivity hypothesis on their exterior algebra, such as the previous general complete intersections, satisfy also strong hyperbolicity properties. We then recall notions of intermediate analytic hyperbolicity, as well as a few famous conjectures relating these (transcendantal) notions to projective varieties of general type. These conjectures predict especially finiteness properties for intermediate hyperbolic varieties. In particular, the automorphisms group of such varieties must be finite. The second result of this thesis shows this fact under a quasi-optimal hypothesis. In a third and last part, which is a joint work with Erwan Rousseau and Ariyan Javanpeykar, we introduce algebraic analogues of intermediate analytic hyperbolicites, generalizing the usual definition of algebraic hyperbolicity in the sense of Demailly. We then study, as in the analytic case, the expected finiteness properties of intermediate algebraically hyperbolic varieties. We show that for every integral projective variety (pseudo-) intermediate algebraically hyperbolic (X), and for every integral projective variety (Y), the set of surjective morphisms from (Y) to (X) is finite: this is the third result of this thesis.