Programme
Ce cours entre naturellement dans ce cadre, car il présente des liens profonds entre différents domaines des mathématiques et de l'informatique théorique :
réécriture de mots : présentations convergentes d'un monoïde (ou d'une catégorie) ;
algèbre homologique : groupes d'homologie d'un monoïde (ou d'une catégorie) ;
groupes de tresses et généralisations : familles de Garside dans un monoïde (ou une catégorie) ;
catégories supérieures et algèbre homotopique : type de dérivation fini et résolutions polygraphiques.
Cette approche a été initiée par Craig Squier (1987) : en montrant que les paires critiques de la réécriture définissent des générateurs de l'homologie en dimension 3,
il peut construire un monoïde finement présentable pour lequel le problème du mot est décidable, mais qui n'admet aucune présentation convergente finie.
La méthode a été généralisée à la dimension quelconque par Yuji Kobayashi (1990), puis reformulée dans un cadre homotopique par Craig Squier lui-même (1994).
Elle a été adaptée au cas des groupes gaussiens par Patrick Dehornoy et Yves Lafont en 2003, ce qui permet, par exemple, de calculer l'homologie des groupes de tresses.
La réécriture de mots a aussi été généralisée au cas des 2-présentations par Albert Burroni (1993) et Yves Lafont (2003). En suivant cette voie,
François Métayer a introduit la notion de résolution polygraphique (2003), qui est la version homotopique des résolutions libres (2009).
C'est aussi ce qu'on appelle un remplacement cofibrant en algèbre homotopique.
